二维分布函数

多维随机变量的分布函数

$(X, Y)$ 为二维随机变量

一、联合分布函数

Joint Distribution Function

二维联合分布律的累加
二维联合概率密度的积分

\begin{array}{r} F (x, y) = P {X \leq x, Y \leq y} \end{array}

表示平面上随机点 $(X, Y)$ 落在以 $(x, y)$ 为右上顶点的无穷矩形中的概率

\begin{aligned} P {x_{1} < X \leq x_{2}, y_{1} < Y \leq y_{2}} \\ = F (x_{2}, y_{2}) - F (x_{1}, y_{2}) - F (x_{2}, y_{1}) + F (x_{1}, y_{1}) \geq 0 \end{aligned}

基本性质

单调性： $F (x, y)$ 是变量 $x ， y$ 的单调不减函数
有界性：实际上根据此性质，可以列三个方程，计算三个未知参数
- $0 \leq F (x, y) \leq 1$
- $F (+ \infty, + \infty) = 1$
- $F (- \infty, y) = F (x, - \infty) = F (- \infty, - \infty) = 0$
连续性：关于 $x, y$ 右连续

F (x, y) = F (x + 0, y) F (x, y) = F (x, y + 0)

多维随机变量的分布

\begin{array}{r} F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = P {X_{1} \leq x_{1}, X_{2} \leq x_{2}, \dots, X_{n} \leq x_{n}} \end{array}

二、边缘分布函数

Marginal Distribution Function
边沿分布、边际分布
多维随机变量有联合分布函数，而多维随机变量的各个分量都为一维随机变量，都有其自身的分布

已知联合分布函数求边缘分布函数：

$X$ 的分布为 $X$ 关于二维随机变量 $(X, Y)$ 的边缘分布

F_{X} (x) = P {X \leq x, Y < + \infty} = F (x, + \infty)

$Y$ 的分布为 $Y$ 关于二维随机变量 $(X, Y)$ 的边缘分布

F_{Y} (y) = P {X \leq + \infty, Y < y} = F (+ \infty, y)

三、条件分布函数

Conditional Distribution Function
条件概率： $P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}$
条件分布：二维随机变量 $(X, Y)$ 在已知某个分量的取值的情况下，另一个随机变量的分布

\begin{array}{r} F_{X ∣ Y} (x ∣ y) = P {X \leq x ∣ Y = y} \end{array}